Matemaatika ainekava tööversioonist ja matemaatika õpetamisest üldisemalt ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Pärast mitmeaastast tegemist ja ümbertegemist on REKK lõpuks üllitanud põhikooli ja gümnaasiumi uute õppekavade tööversioonid [1]. Alljärgnevalt paneb autor kirja mõned mõtted, mis tal tekkisid seda versiooni lugedes ning hetkel kehtiva õppekavaga [2] võrreldes. Õppekava hetke- ja tööversiooni esimesel vaatlusel hakkab silma kaks suurt erinevust. Esiteks on tööversioonis õppesisu lahti kirjutatud klassiti (hetkevariandis kooliastmeti), teiseks sisaldab uus kava gümnaasiumi osas kahte erinevat taset. Mõlemast muutusest on uute õppekavadega seoses juba tükk aega räägitud ning nende vajalikkuses on saavutatud Eesti oludes vaata et harjumatu konsensus. Kindlasti leiab kahel kõnealusel dokumendil ka palju pisikesi erinevusi -- ju vast liigutasid tööversiooni loojad konkreetseid teemasid siia-sinna nagu õppekava arenduses ikka toimub. Käesoleva kirjatüki autor pole aga seadnud enda eesmärgiks sellistesse detailidesse laskuda, sest ühest küljest ei tunne ta end õppekava peensustes väga pädevana, teisest küljest aga tekitavad just tööversiooni poolt püstitatud matemaatika kui aine sisulised eesmärgid mitmeid küsimusi. Praegu kehtiv õppekava [2] algab umbes kaheleheküljelise preambulaga, kus sõnastatakse suhteliselt konkreetselt need eesmärgid, mida matemaatika õpetamine koolis taotlema peaks. Kogu preambulat pole mõtet siinkohal tsiteerima hakata, kuid ühe, käesoleva kirjatüki autori meelest ühe olulisema punkti toome siiski ära. --- 1.2. Matemaatika ei teeni üksnes iseenese huve. Loogika kui matemaatika põhiline tulemusteni jõudmise viis on saanud tähtsaks vahendiks ka paljudes teistes teadustes, inimtegevuses tervikuna. Inimese täisväärtuslik areng ja toimetulek kaasaegses ühiskonnas ei ole mõeldav loogilise mõtlemise kultuurita. Oskus olukordi loogiliselt analüüsida, jõuda antud faktidest loogiliste arutluste kaudu järeldusteni, eristada olulist ebaolulisest, tõestatut mittetõestatust, oskus järjestada, klassifitseerida, püstitada hüpoteese, neid tõestada või ümber lükata, oskus kasutada analoogiaid -- kõike seda ja veel palju muud omandab inimene eeskätt matemaatikaga tegeldes. Siit tuleneb matemaatikaõpetuse teine oluline funktsioon: õpilaste mõtlemisvõime arendamine, loova ja arenguvõimelise isiksuse kujundamine. --- Midagi niisugust me REKKi õppekavamustandist ei leia. Muidugi on ka tsiteeritud punkt kehtivas õppekavas kõigest deklaratiivne ja reaalse sisuga peab deklaratsiooni täitma kogu järgnev õppekava tekst, kuid sellegipoolest annab preambula meile ettekujutuse seadusakti (mida õppekava valitsuse määrusena ju on) vaimust ning tema autorite ideoloogiast. Uue õppekava tööversiooni autorite ideoloogia avaldub ehk kõige selgemalt materjali liigituses laiadeks teemadeks. Kui kehtiv õppekava jaotab teises ja kolmandas kooliastmes materjali jämedalt neljaks -- arvud, algebra, geomeetria ja loogika -- siis uues mustandis on neist alles ainult esimesed kolm. Kusagil ei mainita näiteks, et õpilane peaks saama aru kvantorite ideest, kuigi kehtivas õppekavas on vastavad mõisted (mõni, kõik, ei ükski) esindatud juba II kooliastmes. Jah, tööversiooni 8. klassi materjali seast leiame jaotisest "Geomeetrilised kujundid" ka sõnad "Definitsioon. Teoreem. Teoreemi eeldus ja väide. Näiteid teoreemide tõestamisest." Olukorras aga, kus õpilastele pole varem loogika põhimõisteid tutvustatud, jäävad teoreemi eeldus ja väide sama taseme mõisteteks kui ringjoone kõõl ja kolmnurga kesklõik (ning kui pregune mustand õppekavaks saaks, oleks see täiesti õppekavajärgne, sest õppekavas olekski nad siis sama taseme loetelus esindatud). Kuhu jääb aga arusaamine matemaatikast kui korrektse mõtlemise kunstist, mille olulisim meetod ongi põhjendamine? Sellesama õppekavamustandi varasemad versioonid sisaldasid arutlusoskuse nõuet veelgi vähemal määral. Kui 2006. aasta kevadsuvel (mil üks esimesi tööversioone osaliselt avalikuks sai) matemaatikaringkondades ja ajakirjanduses kisa kõvaks läks (ka allakirjutanu tunnistab osalust selles kisakooris), kopeeris õppekava töörühm kehtivast õppekavast põhikooli taotletavate õpitulemuste osasse sõnasõnalt järgmise lause: --- Õpilane saab aru ainekavakohastest loogilistest arutlustest (tõestustest) ning mõistab nende vajadust, oskab omandatud teadmiste piires teha antud eeldustest loogilisi järeldusi ning väiteid põhjendada. --- REKKi kodulehel publitseeritud versioonis [1] on sellest lausest välja visatud sõna "tõestustest". See muutus kujutab endast küll pigem keelekorrektuuri, kuid õppekava tööversiooni saamislooga kursis olles teeb ta siiski murelikuks. Ühest küljest on allakirjutanu nõus, et kõiki põhjendusi ei pea tõestusteks nimetama (ja nooremas kooliastmes ehk isegi ei tohi), kuid faktiks jääb, et jälle kord ei sisalda põhikooli taotletavad õpitulemused tõestamist, vaid ainult "ainekavakohaseid loogilisi arutelusid". Kui paljusid loogilisi arutelusid ainekava mustand aga põhikooli lõpuni eeldab? 8. klassi kava ütleb "Näiteid teoreemide tõestamisest." ja 9. klassi kava "Pythagorase teoreem." Sõna "Näiteid" on mitmuslik, seega tuleb ainekavale vastavas 8. klassi õpikus näidata vähemalt kahte teoreemi, millele 9. klassis lisandub veel üks. Järelikult piisab uue kava kohaselt sellest, kui põhikooli lõpetaja on näinud kolme väite põhjendusi ja oskab õpetaja küsimuse "Kas sa saad nende vajadusest aru?" peale õigel hetkel noogutada. Ülaltsiteeritud lause õppekava mustandist ei oma seega üldse erilist sisu, kuna ainekavas loogilisi arutlusi praktiliselt ei nõuta. Ma loodan väga, et õpikute kirjutajad ei piirdu vaid kolme näiteväite esitamisega ja et õpetajad viivad ka niisuguse nuditud õppekava juures õpilasteni idee põhjendamise vajalikkusest, kuid kardan samas, et õppekava lõdvenemine toob paratamatult kaasa matemaatikataseme jätkuva langemise Eesti koolides. Ülikooli õppejõuna võin öelda, et praeguste tendentside jätkudes pole ülikoolil varsti enam võimalik koolitada piisaval tasemel infotehnolooge, insenere ja teisi reaalteaduste abil ühiskonna arengusse panustavaid inimesi, sest ülikool muutub üha enam põhikooli ja gümnaasiumi aukude lappimise kohaks. Nii hetkel kehtiv kui tööversioonis õppekava kannavad endas veidrat vastuolu. Ühest küljest üritavad nad mõlemad hakkama saada 90.ndate aastate keskel ebamõistlikult madalale lastud nädalatundide arvuga, teisest küljest aga püüavad mõlema variandi autorid võimalikult palju säilitada 80.ndate lõpu ja 90.ndate alguse temaatikast. Seejuures on viimase 15 aastaga osa teemasid (nt statistika) isegi lisandunud. See toob endaga kaasa vajaduse materjali esituse efektiivsust (nii õppekava, õpiku kui tunni tasemel) tõsta, visata välja keerukamad ülesanded, "ebavajalikud" kordamised jms. Muuhulgas soodustab niisugune efektiviseerimine tuupimise levikut. Mäletan, kuidas Elts Abel kunagi minu kooliajal olümpiaadisessioonil õpetas, et ärge ajage koosinuste jt sarnaste summade korrutiseks teisendamise valemeid pähe, vaid jätke meelde, kuidas neid tuletada. Siis mul lõi "lambikese põlema" -- jah, ülesannet oleks kiirem lahendada, kui mul oleksid need valemid ette valmis tuubitud, aga teisalt jäävad tuletused palju paremini meelde kui lõpptulemused ise. Võib pidada õppimise kui protsessi paradoksiks, et vahel on lihtsam õppida rohkem kui hädapärast nõutav formaalne miinimum ette näeb. Just matemaatikas lööb see efekt eriti tugevalt välja -- erinevate mõistete ja väidete vahel valitseb palju seoseid ning mida suuremat osa neist vallata, seda lihtsamaks aine tervikuna muutub. Samas kulub nende seoste omandamisele paratamatult aega, samuti pole õpilasi alati lihtne motiveerida sügavamale vaatama, sest "seda ju otse minu käest ei küsita". Eks sarnase dilemma eest leiab end tunnis ka õpetaja. Muidugi oleks tore kui näiteks tunnikontrolli ajal ei peaks eeldama, et õpilane ruutvõrrandi lahendivalemit peast mäletab, vaid suudab selle vajadusel koha peal tuletada, kuid siis võtaks kõik tunnikontrollid väga palju aega. Küllap leidub kuskil optimaalne vahekord, mida tasub pähe õppida (nt korrutustabel) ja mille kohta piisab tuletuskäikude teadmisest (nt trigonomeetriavalemid). Allakirjutanu hinnangul viivad praegune allapoole igasugust arvestust jääv matemaatikale riiklikult eraldatud tunniressurss ja endiselt viimase piirini pingutatud programm selle vahekorra tuntavalt optimumist välja. Tulemusena muutuvad meie õpilaste matemaatikateadmised üha pinnapealsemaks. Olukorda saab parandada kahe meetme koosmõjul -- matemaatikatundide arvu koolis tuleb taas tõsta (jah, ma räägin minimaalsest, kõigile kohustuslikust tundide arvust) ning õppekava teemade valikul eristada oluline (loogilise mõtlemise oskus) vähemolulisest. Milliseid teemasid konkreetselt välja jätta või asendada, vajab sügavamat arutelu, kuid allakirjutanu ettepanekud on tõsta välja kõrgkoolimatemaatika (integraal, osa funktsiooni uurimist, Descartes'i geomeetria, statistika) ning õpetada selle arvel sügavamalt klassikalisi elementaarmatematika distsipliine (Eukleidese geomeetria, arvuteooria, diskreetne matemaatika). Tulles tagasi kõnealuse õppekavamustandi juurde tahaksin juhtida tähelepanu veel mõnedele veidrustele. Võrreldes kehtiva ainekavaga on uue versiooni autorid üritanud mitmes kohas rõhutada õpitu praktilist rakendamist. Nii peaksid 7. klassi lõpetanud oskama "lahendada lihtsamaid praktilise sisuga protsentülesandeid", gümnaasiumi laia kava lõpetanud peaksid suutma "kasutada aritmeetilist, geomeetrilist ning hääbuvat geomeetrilist jada praktilisi ülesandeid lahendades", kitsa kava läbinud aga peaksid tundma "praktilise sisuga ülesanded hulktahukate (püstprisma ja korrapärase püramiidi) ning pöördkehade kohta", samuti oskaks kitsa kava läbinu "matemaatiliselt kirjeldada lihtsamaid praktilisi probleeme ning neid lahendada". Allakirjutanule jääb segaseks, millistele kriteeriumitele peab vastama ülesanne, et teda loetaks praktiliseks. Kas protsentülesanded kaupade hindade muutumise peale on praktilised? Kui jah, siis käsitleb iga mõistlik matemaatikaõpik praktilisi ülesandeid nagunii ja praktilisuse säärane afisheerimine õppekavas on natuke imelik. Kui aga ei, siis tuleb vist praktiliseks lugeda sillatalade kandevõime arvutamine jt sarnased ülesanded, mis jäävad kooliprogrammist kaugele välja. Kuna hetkel kehtivas õppekavas pole ühegi teema juures praktikat eraldi välja toodud, siis ilmselt polnud uue kava autorid olemasolevate õpikute ja õppekavaga mingis aspektis rahul. Allakirjutanul oleks hea meel kuulda või lugeda, mis täpselt tööversiooni autoreid ei rahuldanud ja milliseid praktilisi ülesandeid pöördkehade kohta siis õpikutesse lisada tuleks. Teine omapärane tähelepanek puudutab erinevate ainete omavahelisi seoseid. Veel sügisel REKKi kodulehel rippunud õppekavade tööversioon sisaldas ohtralt ainelõiminguid, kus matemaatika osas loeti üles protsentarvutuse rakendamine keemias, koordinaatide meetodi kasutamine geograafias jne. Teisi aineid lõimiti matemaatikasse põhiliselt läbi ülesannete teksti, mida oli omajagu naljakas õppekavast lugeda, kuid praegusest versioonist [1] on kõik matemaatika ainelõimingud millegipärast kadunud. Kas püütakse nõnda varjata asjaolu, et tegelikult on ainetevahelise lõimumisega lood endiselt kehvad? Näiteks leiame vektori mõiste nii kehtivas kui kavandatavas õppekavas gümnaasiumi programmist, kuigi füüsikas käsitletakse vektoriaalseid suurusi (jõud, kiirus) sellesama õppekavamustandi järgi juba 8. klassis. Samuti ei saa teiste ainete lõimimist läbi ülesannete teksti tõsiselt võtta -- ajaloolised suurkujud jäägu ikkagi ajalootundi, matemaatika jaoks pole vahet, kas münte loeb taskus kokku Juku või Peeter I. Kokkuvõtteks arvab allakirjtanu, et õppekavade praeguse mustandi saamine ametlikuks õppekavaks viiks vähemasti matemaatika osas meie haridustaset tugevasti alla. Kannataksid nii õpilaste sisuline arusaamine matemaatilistest meetoditest kui ka koolilõpetanute võime tulevikus reaalaladel läbi lüüa. Gümnaasiumitaseme diferentseerimine on küll samm õiges suunas, kuid kui sellega ei kaasne diferentseeritud riigieksameid, jääb ka see meede tulemusteta. Lõpuks tahan öelda, et lõpetasin ise 1992. aastal humanitaarkooli, kuid tollal sai ka humanitaarkoolis õppides piisava hariduse, et hiljem matemaatikas ja arvutiteaduses hakkama saada. Miks tahetakse aastal 2007 meie õpilastelt selline võimalus ära võtta? Jan Willemson, TÜ matemaatika-informaatikateaduskonna dotsent Viited [1] Riiklike õppekavade materjale. Riiklik Eksami- ja Kvalifikatsioonikeskus, Tallinn 2006. http://www.ekk.edu.ee/oppekavad/arendus/oppekavad_2006-6.pdf [2] Põhikooli ja gümnaasiumi riiklik õppekava. Vastu võetud Vabariigi Valitsuse 25.01.2002. a määrusega nr 56 (RT I 2002, 20, 116), jõustunud 1.09.2002. Muudetud järgmiste Vabariigi Valitsuse määrustega (vastuvõtmise aeg, number, avaldamine Riigi Teatajas, jõustumise aeg): 11.06.2002 nr 186 (RT I 2002, 51, 317) 23.06.2002 10.09.2004 nr 296 (RT I 2004, 67, 468) 19.09.2004 16.03.2006 nr 78 (RT I 2006, 13, 106) 24.03.2006